2005 年青少年数学城市杯培训资料(含参考解答)
左太政/高雄师范大学数学系
一,解题的内涵
1.能分解复杂的问题为一系列的子题. 2.能熟悉解题的各种历程:搜集,观察,臆测,检验,推演,验证,论证等. 3.能运用解题的各种方法:分类,归纳,演绎,推理,推论,类比,分析,,一般化,特 殊化等. 4.了解一数学问题可有不同的解法,并能尝试不同的解法. 5.能发展应用问题的解题策略.
二,数学解题策略
通常数学解题的过程可依下列四个步骤进行: (一)了解问题-从审查题意,发掘概念内涵;若题意不了解,不妨再阅读二至三次,直至了解题 意关键处. (二) 拟定计画-能分析问题并产生联想,以寻求解题途径,可依下列方式进行: 1.尽可能画出图形或表格; 2.检查特例如令问题中的整数取 1,2,3,4,5 等特殊值代入, 看看是否可归纳出规律来; 3.尝试简化问题如利用对称性,采用『不妨假设』 而不失问题的一般讨论方式. 4.如无法立即解决问题,需保留任何解题的记录,以便先做别题后再回头解本题时参考使 用. (三) 实行计画-选择策略及综合运用知识去进行推理,计算,以解决问题 (四) 回顾解答-验证答案是否合理及思考结果或方法能否用於解其他问题, 甚至於自己修 改原问题或推广其结论,形成另一个问题,亦可考虑作为专题研究之题目. 简言之,通常解题活动先从题目待答或待证明的地方著手(Request),适时引进题目的 已知条件及潜在的性质(Response),最后导出结果(Result).这是所谓的「3 R」策略.
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三,竞赛题型
1.数论—含因数及倍数,质数,同余数,整数与其数字之关系,解不定方程式等. 2.代数—含函数,解方程式,不等式等. 3.几何—含综合几何,几何不等式等. 4.组合—含多方块,棋盘,不等式等. 须具备以上四种类型所涵盖重要及基本性质定理等专业知识.
四,范例练习
1.试求 2
34
5
的个位数字及十位数字.
解:先找出 2 的各次方数的个位,十位数字的规律性 21 02 , 2 2 04 , 2 3 08 , 2 4 16 , 2 5 32 , 2 6 64 , 2 7 28 , 2 8 56 , 2 9 12 ,210 24,211 48,212 96 ,213 92 ,214 84 ,215 68 ,216 36 , 217 72 , 218 44 , 219 88 , 2 20 76 , 2 21 52 , 2 22 04 (与 2 2 04 同) 由此可看出除 21 02 外,其余 2~21 次方呈一循环,即 20 个一循环. 所求即 2 3
1024
之个位,十位数字,此处考虑 31024 1 除以 20 之余数
31 1 ≡ 2 (mod 20), 3 2 1 ≡ 8 (mod 20), 33 1 ≡ 6 (mod 20), 3 4 1 ≡ 0 (mod 20), 35 1 ≡ 2 ≡ 31 1 (mod 20), 因此得其 4 个一循环,故 31024 1 ≡ 3 4 1 ≡ 0 (mod 20) 则 2 3 的个位数字,十位数字与 2 21 之个位数字,十位数字相同 故所求 2 3 之十位数字为 5,个位数字为 2. 2,试求满足条件 解: 3 5 + = 1 mn 5m 3n = 0 (m 3)(n 5) = 15 m n 因 m,n 为正整数,故 m 3 ≥ 2 , n 5 ≥ 4 ,且 m 3 , n 5 皆为整数 m-3 1 3 5 15 n-5 15 5 3 1
2
45 45
3 5 + = 1 的所有正整数数对( m , n ) . m n
故所求正整数数对(m,n)=(4,20)(6,10)(8,8)(18,6) , , , 3.设 n 为一个三位正整数,若 n 2 的末三位数正好是 n ,试求满足这样条件的所有 n 值. 解: 令 n 之百位数字为 a ,十位数字为 b ,个位数字为 c 即 n = a × 102 + b ×10 + c ,其中 0 < a ≤ 9 , 0 ≤ b, c ≤ 9 则 n 2 = (a ×102 + b × 10 + c)2 = a 2 ×104 + b 2 ×10 2 + c 2 + 2ab × 103 + 2ac ×102 + 2bc ×10 = a 2 ×104 + 2ab ×103 + (b 2 + 2ac) ×10 2 + 2bc ×10 + c 2 由 n 之个位数字先判断,平方后末位还是等於本身者,只有 0,1,5,6 (1) n 之个位数字 c = 0 时 则 n 2 之十位数字 = 2bc =0,故此时 n 之十位数字 b =0 n 2 之百位数字 = b 2 + 2ac =0,故此时 n 之百位数字 a =0(不合) (2) n 之个位数字 c = 1 时 则 n 2 之十位数字 = 2bc = 2b 2b = b ,故此时 n 之十位数字 b =0 n 2 之百位数字 = b 2 + 2ac = 2a 2a = a ,故此时 n 之百位数字 a =0(不合) (3) n 之个位数字 c = 5 时 则 n 2 之十位数字 = 2bc + 2 = 10b + 2 ,故此时 n 之十位数字 b =2 n 2 之百位数字 = b 2 + 2ac + 2 = 10a + 6 ,故此时 n 之百位数字 a =6 ∴ n = 625 (4) n 之个位数字 c = 6 时 则 n 2 之十位数字 = 2bc + 3 = 12b + 3 ,故此时 n 之十位数字 b =7 n 2 之百位数字 = b 2 + 2ac + 8 = 12a + 57 ,故此时 n 之百位数字 a =3 ∴ n = 376 由(1) (3) (2) (4)知 n = 625 ,376 1 a =0.1666…, 试求满足条件 =0. abbb … 的所有异於零的数字 a 与 b 的值. 6 b 解:(a,b)=(1,6),(9,9). 4.已知 5.卡布列克(L. D. Kaprekar,印度数学家)怪数是类似(30+25) 2 =3025 这样的数:即一个 2n 位数,把前 n 位数当作一个数加上这个数的后 n 位数,它们之和的平方正好等於这个 2n 位数.试问四位数中有那些卡布列克怪数 (能否找出所有卡布列克怪数 ) 解:共有三组解-2025, 3025, 9801, 【注】:对於奇数位的整数,偏前(或偏后)的断开成两个数,求其和后再平方正好等於原数, 仍称为卡布列克怪数,例如 88209=(88+209) 2 ,93817284=(4938+17284) 2 . 6.试找出所有正整数 a 使得 a 恰好等於它的所有数字的平方和加上 1,例如 35=3 2 +5 +1, 及 75=7 +5 +1 等,是否还有其它解 解:需证明只有二解 35 及 75. 7.已知有五个正整数,如果将这五个数中任意相异的二数相加,所得到的结果正好是 637, 669,

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