2010年全国初中数学联合竞赛试题参考答案
第一试
一,选择题:(本题满分42分,每小题7分)
1. 若均为整数且满足,则 ( B )
A.1. B.2. C.3. D.4.
2.若实数满足等式,,则可能取的最大值为 ( C )
A.0. B.1. C.2. D.3.
3.若是两个正数,且 则 ( C )
A.. B.. C.. D..
4.若方程的两根也是方程的根,则的值为 ( A )
A.-13. B.-9. C.6. D. 0.
5.在△中,已知,D,E分别是边AB,AC上的点,且,,,则 ( B )
A.15°. B.20°. C.25°. D.30°.
6.对于自然数,将其各位数字之和记为,如,,则 ( D )
A.28062. B.28065. C.28067. D.28068.
二,填空题:(本题满分28分,每小题7分)
1.已知实数满足方程组则 13 .
2.二次函数的图象与轴正方向交于A,B两点,与轴正方向交于点C.已知,,则 .
3.在等腰直角△ABC中,AB=BC=5,P是△ABC内一点,且PA=,PC=5,则PB=______.
4.将若干个红,黑两种颜色的球摆成一行,要求两种颜色的球都要出现,且任意中间夹有5个或10个球的两个球必为同一种颜色的球.按这种要求摆放,最多可以摆放____15___个球.
第二试 (A)
一.(本题满分20分)设整数()为三角形的三边长,满足,求符合条件且周长不超过30的三角形的个数.
解 由已知等式可得
①
令,则,其中均为自然数.
于是,等式①变为,即
②
由于均为自然数,判断易知,使得等式②成立的只有两组:和
(1)当时,,.又为三角形的三边长,所以,即,解得.又因为三角形的周长不超过30,即,解得.因此,所以可以取值4,5,6,7,8,对应可得到5个符合条件的三角形.
(2)当时,,.又为三角形的三边长,所以,即,解得.又因为三角形的周长不超过30,即,解得.因此,所以可以取值2,3,4,5,6,7,对应可得到6个符合条件的三角形.
综合可知:符合条件且周长不超过30的三角形的个数为5+6=11.
二.(本题满分25分)已知等腰三角形△ABC中,AB=AC,∠C的平分线与AB边交于点P,M为△ABC的内切圆⊙I与BC边的切点,作MD//AC,交⊙I于点D.证明:PD是⊙I的切线.
证明 过点P作⊙I的切线PQ(切点为Q)并延长,交BC于点N.
因为CP为∠ACB的平分线,所以∠ACP=∠BCP.
又因为PA,PQ均为⊙I的切线,所以∠APC=∠NPC.
又CP公共,所以△ACP≌△NCP,所以∠PAC=∠PNC.
由NM=QN,BA=BC,所以△QNM∽△BAC,故∠NMQ=∠ACB,所以MQ//AC.
又因为MD//AC,所以MD和MQ为同一条直线.
又点Q,D均在⊙I上,所以点Q和点D重合,故PD是⊙I的切线.
三.(本题满分25分)已知二次函数的图象经过两点P,Q.
(1)如果都是整数,且,求的值.

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