= ( r rw 2 )(cos θ i + sin θ j)+ ( 2 r w + r w )( sin θ i + cos θ j)
也就是说行星的加速度为
以行星为坐标原点建立活动架标,其两个正交的单位向 量分别是
由开普勒第三定律知 那么就导出著名的 万有引力定律:
因此得出
e r = cos θ i + sinθ j , eθ = sinθ i + cos θ j 由于2 r w + r w = 0
a 3 / T 2 为常数.若记 G = MT 2
4π 2 a 3
a = ( r rw 2 )e r
F = G
Mm er r2
§1.2 数学建模的一般步骤
1.了解问题的实际背景,明确建模目的,收集掌握 必要的数据资料. 2.在明确建模目的,掌握必要资料的基础上,通过 对资料的分析计 算, 找出起主要作用的因素,经必 实体信 建模 求解 假设 验证 要的精炼,简化,提出若干符合客观实际的假设. 应用 息(数据) 3.在所作假设的基础上,利用适当的数学工具去刻 划各变量之间的关系,建立相应的数学结构 ——即 建立数学模型. 在难以得出解析解时,也 4.模型求解.
应当借助 计算机 求出数值 解.
§1.3 数学模型的分 类
分类标准
对某个实际问题 了解的深入程度 模型中变量的特 征 建模中所用的数 学方法
具体类别
白箱模型,灰箱模型,黑箱模型
连续型模型,离散型模型或确定性 模型,随机型模型等 初等模型,微分方程模型,差分方 程模型,优化模型等 研究课题的实际 人口模型,生 态系统模型 ,交通 范畴 流模型,经 济模型, 基因模型等
5.模型的分析与检验.
§1.4 数学建模与能力的培养 近几年里,我校学生
都在只参加了半年左 右的学习和实践后, ①数学建模实践的 每一步中都 蕴含着能力上的 锻炼,在 就在国家及国际大学 调查研究阶段,需 要用到观察能力,分析能力和数据处理 生数学建模竞赛中交 能力等.在提出假设 时,又需要用到 想象力和归纳 简化 开设数学建模课的主要目的为了提高学 出了出色的研究论 能力. 生的综合素质,增强 应用数学知识 解决实际问 文, 2002年首次参加 题的本领. ②在真正开始自己的研究之前,还应当尽可能先了解一下 全国赛就获得国家一 前人或别人的工作,使自己的工 作成为别人研究工作 的 等奖一项,2003, 继续而不是别人工作的重复,你可以把某些已知的研究结 2004年又各获国家二 果用作你的假设,去探索新的奥秘.因此我们还应当学会 等奖一项,2004年首 在尽可能短的时间 内查到并学会我想应用的知识的本领. 次参加国际赛又一举 获得国际二等奖三项 ③还需要你多少要有点 创新的能力.这种能力不是生来就 的好成绩. 有的,建模实践就为你提供了一个培养创新能力的机会.
开设数学建模课的主要目的并非简单地传播数 学知识而是为了提高综合素质,增强应用数学知识 解决实际问题的本领.因此,在学习数学建模时学 生应当特别注意自身能力的培养与锻炼.要想知道 李子的滋味是酸的还是甜的,你必须亲口去尝一 下;要想知道如何建模,除了学习基本技能与基本 技巧之外,更重要的是应当参与进来,在建模实践 中获得真知.
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§1.5 一些简单实例
例1 某人平时下班总是按预定时间到达某处,然 然后他妻子开车接他回家.有一天,他比平时提早 了三十分钟到达该处,于是此人就沿着妻子来接他 的方向步行回去并在途中遇到了妻子,这一天,他 显然是由于节省了从相遇点到 换一种想法,问题就迎刃而 会合点,又从会合点返回相遇点这一 比平时提前了十分钟到家,问此人共步行了多长时 解了.假如他的妻子遇到他后仍 段路的缘故,故由相遇点到会合点需 载着他开往会合地点,那么这一 间 开5分钟.而此人提前了三十分钟到 似乎条件不够哦 .. 天他就不会提前回家了.提前的 达会合点,故相遇时他已步行了二十 请思考一下,本题解答中隐含了哪些假设 十分钟时间从何而来 五分钟.
例2 某人第一天由 A地去B地,第二天由 B地沿原路返回 A 地.问:在什么条件 下,可以保证途中至少存在一地,此人在 两天中的同一时间到达该地.
分析 本题多少 有点象 数学中 解的存在 性条件 及证明,当 然 ,这里的情况要简单得多. 假如我们换一种想法,把第二天的返回改变成另一人在同 一天由B去A,问题就化为在什么条件下,两人至少在途中 相遇一次,这样结论就很容易得出了:只要任何一人的到 达时间晚于另一人的出发时间,两人必会在途中相遇.

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