数学建模概论
浙江大学城市学院
随着电子计算机的出现和科学技术的迅猛 发展,数学的应用已不再局限于传统的物 理领域,而正以空前的广度和深度逐步渗 透到人类活动的各个领域.生物,医学, 军事,社会,经济,管理……,各学科, 各行业都涌现出大量的实际课题,亟待人 们去研究,去解决.
§1.1 数学模型与数学建模
利用数学知识研究和解决实际问题,遇到 的第一项工作就是建立恰当的数学模型, 数学建模正在越来越受到人们的重视.从 这一意义上讲,可以说数学建模是一切科 学研究的基础.没有一个较好的数学模型 就不可能得到较好的研究结果,所以,建 立一个较好的数学模型乃是解决实际问题 的关键之一.
数学模型(Mathematical Model)
是用数学符号,数学式子,程序,图形等对实际课 题 本质属性的抽象而又简洁的刻划,它或 能解释某 些客观现象,或能预测未来的发展规律,或能为控制 某一现象的发展提供某种意义下的最优策略或较好策 略.
数学建模(Mathematical Modeling)
应用知识从实际课题中抽象,提炼出数学模型的过 程.
例(万有引力定律的发现 )
开普勒三大定律
十五世纪中期 ,哥白尼 提出了震惊世界的 日心说. 1.行星轨道是一 个椭圆,太 丹麦著名的实验天文学 家第谷花了二十多年时间 太阳位于此椭圆的一个焦 观察纪录下了当 点上. 时已发现的五大 行星的运动情况 . 第谷的学生和助手 开普勒对这些资料进行了九年时 2.行星在单位时间内 扫过的 间的分 析计算后面积不变. 得出著名的Kepler三定律. 3.行星运行周期的平方正比 牛顿根据开普勒三定律和牛顿第二定律,利用微积分 方法推导出牛顿第三定律即 万有引力定律. 于椭圆长半轴的三次方 , 比例系数不随行星而 改变 这其中必 定是某一 力学 (绝对常数) 规律 的反映,哼哼,我
要找出它....
作一次牛顿!呵! 如图,有椭圆方程 :
r=
p 1 e cosθ
dA = 1 2 r dθ 2
矢径所扫过的面 积A的微分为: 由开普勒第二定 律: 立即得出: 即:
dA 1 2 = r w = 常数 dt 2 d 2 0 = (r w) = 2r r w + r 2 w dt r θ 2r w+ r w = 0 太阳
行星
另外,椭圆面积 由此得出
π ab =
r 2w =
2πab =常数 T
∫
T
0
dA 1 dt = r 2 wT dt 2
1
我们还需算出行星的加速度,为此需要建立 两种 不同的坐标架.第一个是固定的,以太阳为坐标原点, 沿长轴方向的单位向量记 为i,沿短轴方向的单位向量记 为j,于是:
再将椭圆方程 两边微分两次,得 将前面得到的结果 代入,即得
p = r (1 e cosθ )
( r rw 2 )
r = r cos θ i + r sin θ j
a=r =
进而有 加速度 d2 d2 ( r cos θ ) i + 2 ( r sin θ ) j dt 2 dt

b2 2πab 和焦参数 p = a T 4π 2 a 3 1 2 r rw = 2 T2 r
r 2w =
a= 4π 2 a 3 1 2 er T2 r
p 1 2 2 + (r w) = 0 r r3

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